Integral Lipat

BAB 7

INTEGRAL LIPAT

A.     PENDAHULUAN

Dalam kalkulus dasar kita telah membahas sejumlah penggunaan integral seperti menghitung luas dan volume benda putar. Dalam bab ini kita akan membahas penggunaan integral yang lain, baik integral tunggal maupun integral lipat. Kita akan membahas kedua macam integral ini dalam kaitannya dengan perhitungan besaran fisika, misalnya menghitung massa, volume, momen inersia, titik berat, dan sebagainya. Di samping itu, dibahas pula transformasi koordinat pada variabel integrasi dengan memperkenalkan konsep Jacobian. Konsep ini sangat penting dipelajari sebagai upaya untuk memudahkan perhitungan integral lipat.

B.     INTEGRAL LIPAT DUA DAN TIGA

Gambar 7.1 menunjukkan kurva y = f(x). Dalam kalkulus telah diketahui bahwa luas daerah di bawah kurva dinyatakan dalam bentuk integral berikut.

Luas=                                                                                              (7.1)

Seperti diketahui, definisi integral adalah limit dari jumlah. Artinya, luas di bawah kurva pada Gambar 7.1 dapat didekati dengan penjumlahan dari persegi-persegi panjang yang lebarnya Dx. Secara geometris, jika persegi-persegi panjang tersebut diperbanyak dengan membuat Dx®0 maka jumlah luas persegi-persegi panjang panjang tersebut akan cenderung sama dengan luas daerah di bawah kurva.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa

sebagai limit dari jumlah luas persegi-persegi panjang pada Gambar 7.1. Sehingga (7.1) dapat digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva.

Gambar 7.1

uraian di atas dapat dikembangkan untuk menghitung volume benda, katakanlah silinder di bawah permukaan z=f(x,y), seperti tampak pada Gambar 7.2. Mula-mula bidang xy dibagi menjadi beberapa luasan kecil sebesar DA = (Dx)(Dy). Dari setiap luasan ini dibentuk kotal vertikal ke atas sampai permukaan z=f(x,y). Seperti pada pembahasan luas daerah di bawah kurva, volume silinder ini dapat didekati dengan jumlah seluruh volume kotak. Jika jumlah kotak-kotak kecil ini ditambah dengan membat Dx dan Dy ® 0, maka secara geometris jumlah seluruh volume kotak akan cenderung mendekati volume silinder yang sebenarnya. Integral lipat dua dari f(x,y) meliputi seluruh luasan A dalam bidang xy tidak lain merupakan pendekatan dari jumlah luasan DA= (Dx)(Dy). Hal ini dapat dinyatakan dalam ungkapan

                                                                                                           (7.2)

Gambar 7.2

Pernyataan (7.1) dikenal dengan integral lipat dua. Sekarang kita akan membahas beberapa contoh perhitungan.

Contoh Soal 7.1

Tentukan volume benda padat di bawah bidang z = 1 + y yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang vertikal 2x + y = 2 (Gambar 7.3).

                               Gambar 7.3                                              Gambar 7.4

Penyelesaian:

Volume benda dapat dihitung dengan integral lipat dua, yaitu

dengan A menunjukkan luas segitiga yan diarsir pada bidang xy. Perhatikanlah bahwa A ditunjukkan pula dalam Gambar 7.4(a) dan 7.4(b). Kita akan menghitung integral lipat dua ini dengan dua cara.

Pertama, mula-mula luas segitiga A dibagi menjadi beberapa luasan kecil DA=(Dx) (Dy). Luasan kecil ini selanjutnya akan menjadi luas alas bagi kolom vertikal dengan tinggi z. Kita akan menghitung jumlah seluruh volume kolom ini. Mula-mula semua kolom dijumlahkan untuk nilai x tetap [Gambar 7.4(a)] sehingga menghasilkan lapisan volume tipis dengan ketebalan Dx. Langkah ini sama saja dengan mengintegralkan terhadap y (x tetap) dari y = 0 ke y pada garis 2x + y = 2, yaitu y = 2 – 2x. Diperoleh

                                              (7.3)

Hasil ini sama dengan luas lapisan tipis pada Gambar 7.3. Volume lapisan ini sama dengan luas lapisan dikalikan dengan Dx. Sekarang kita dapat menjumlahkan seluruh volume dari masing-masing lapisan tipis. Hal ini dapat dilakukan dengan mengintegralkan (7.3) terhadap x dari x = 0 ke x = 1 :

Langkah penyelesaian sebagaimana telah diuraikan di atas dapat dituliskan sebagai

                                (7.4)

Ungkapan (7.4) dikenal dengan istilah integral berulang. Integral lipat biasanya dihitung dengan menggunakan integral berulang.

Kedua, sebagai alternatif kita dapat pula menjumlahkan volume z(DA) dengan integral pertama terhadap x [untuk y tetap, Gambar 7.4(b)] dari x = 0 ke x = 1 – y/2. Ini menghasilkan lapisan tipis yang tegak lurus terhadap sumbu y [Gambar 7.3(b)]. Langkah selanjutnya adalah menjumlahkan seluruh volume lapisan dengan mengintegralkan terhadap y dari y = 0 ke y = 2 [Gambar 7.4(b)]. Diperoleh,

                                                                   (7.5)

                               

                               

Hasil ini sama dengan nilai yang telah diperoleh sebelumnya. Dengan demikian, kita bebas memilih salah satu dari dua metode yang telah dikembangkan di atas untuk menghitung integral lipat dengan menggunakan integral berulang.

Seringkali salah satu dari dua metode di atas lebih mudah digunakan dibandingkan dengan yang lain. Kita dapat meilih metode yang paling mudah. Untuk memutuskan metode yang dipilih, perhatikan sketsa luas A berikut ini. Kita akan menghitung

Dalam setiap kasus, kita menggabungkan segiempat kecil-kecil dxdy sehingga membentuk pita ipis, kemudian menjumlahkan seluruh pita ini untuk menghasilkan luas daerah yang diinginkan.

Untuk menghitung daerah yang ditunjukkan pada Gambar 7.5, kita mengintegralkan terhadap y terlebih dahulu. Kurva y₂(x) dan y₁(x) pada daerah A merupakan persamaan yang diketahui. Sedangkan batas x = a dan x = b dapat berupa garis vertikal atau titik tertentu. Kita akan mendapatkan bentuk integral berikut.

                                                                                  (7.6)

Gambar 7.5

Untuk menghitung daerah yang ditunjukkan pada Gambar 7.6, kita mengintegralkan terhadap x terlebih dalu. Kurva x₁(y) dan x₂(y) pada daerah A merupakan persamaan yang diketahui. Sedangkan batas y = c dan y = d dapat berupa garis horizontal atau titik tertentu. Kita akan mendapatkan bentuk integral berikut.

                                                                      (7.7)

 

Gambar 7.6

Untuk menghitung  daerah yang ditunjukkan pada Gambar 7.7, kita akan mengintegralkan salah satu dari ungkapan berikut:

                                                                         (7.8)

atau

                                                                         (7.9)

 

Gambar 7.7

Perlu diketahui, semua daerah A yang ditunjukkan pada Gambar 7.7 memenuhi persyaratan untuk rumus (7.6) dan (7.7). JIka f(x,y) dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi, katakanlah f(x,y)=g(x) h(y), maka

                              (7.10)

Contoh Soal 7.2

Hitunglah massa sebuah plat segiempat yang dibatasi oleh x = 0,x=2, y=0, dan y=1, jika kerapatannya (massa per satuan luas) adalah f(x,y)=xy.

Penyelesaian:

Massa segiempat kecil dengan luas DA=DxDy adalah f(x,y) DxDy. Kita dapat menjumlahkan seluruh massa DA, yaitu dM = xy dxdy. Besaran dM ini disebut sebagai elemen massa. Dengan demikian,

Itegral lipat tiga dari f(x,y,z) meliputi seluruh volume V ditulis sebagai

didefinisikan pula sebagai limit jumlah dan dihitung dengan integral berulang. Sebagai ilustrasi perhitungan integral volume, perhatikan Contoh Soal 7.3 berikut ini.

Contoh Soal 7.3

Hitunglah volume benda pada Gambar 7.2 dengan menggunakan integral lipat tiga.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini, bayangkan benda tersebut dipotong-potong menjadi kotak-kotak kecil dengan volume DxDyDz, sehingga diperoleh elemen volume dxdydz. Mula-mula jumlahkan volume dari kotak-kotak kecil itu sehingga diperoleh volume kolom. Ini berarti mengintegralkan terhadap z dari 0 ke 1 + y dengan x dan y tetap. Selanjutnya kita menjumlahkan seluruh volume kolom tersebut untuk memperoleh lapisan volume. Akhirnya, kita menjumlahkan seluruh lapisan volume ini untuk menghasilkan volume benda yang diinginkan. Oleh karena itu,

sebagaimana hasil sebelumnya.

Contoh Soal 7.4

Hitunglah massa benda padat pada Gambar 7.3, jika kerapatannya (massa per satuan volume) adalah x + z.

Penyelesaian:

Elemen massa adalah dM = (x+z)dxdydz sehingga

C.     PENERAPAN INTEGRAL

Banyak besaran fisika yang dapat ditentukan nilainya dengan integral. Pada bagian ini akan dibahas beberapa contoh soal sebagai ilustrasi untuk menentukan sebuah besaran fisika. Ide dasar yang digunakan untuk membahas soal-soal ini adalah integral merupakan “limit dari jumlah”. Oleh karena itu, suatu besaran fisika, katakanlah volume, muatan, dan momen inersia, dapat dibagi-bagi ke dalam sejumlah potongan-potongan kecil yang disebut elemen. Kita menuliskan rumus pendekatan untuk volume, muatan, dan momen inersia dari elemen tersebut, kemudian menjumlahkan meliputi seluruh elemen dari objek. Limit dari penjumlahan ini adalah nilai integral dan menunjukkan besaran fisika yang diinginkan.

Contoh Soal 7.5

Diberikan kurva y = x² dari x = 0 ke x = 1. Hitunglah

a.       Luas di bawah kurva, yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan garis x=1 (Gambar 7.8).

b.      Massa dari luas bidang pada jawaban a, jika kerapatannya (massa per satuan luas) adalah xy.

c.       Panjang kurva.

d.      Dari jawaban a, tentukan pusat massanya.

e.       Dari jawaban c, tentukan pusat massanya.

f.       Momen inersia terhadap sumbu putar x, y, dan z.

Penyelesaian:

a.       Luas di bawah kurva diberikan oleh

Sebagai alternatif, kita dapat menghitung luas di bawah kurva dengan integral lipat dua dari elemen luas dA=dydx (Gambar 7.8). Diperoleh

sebagaimana hasil sebelumnya.

                              Gambar 7.8                                             Gambar 7.9

                                      

b.      Elemen luas, sebagaimana telah digunakan dlam jawaban a, adalah dA = dydx. Karena kerapatan r = xy sehingga elemen massa dM=xy dxdz. Dengan demikian,

Perhatikan bahwa kita dapat menyelesaikan soal ini dengan integral tunggal, sebab kerapatan r bergantung pada x dan y.

c.       Elemen panjang busur ds didefinisikan seperti ditunjukkan pada Gambar 7.8 dan Gambar 7.9, yaitu

ds² = dx² + dy²                                                                                                               (7.11)

atau

                                                       (7.12)

Dengan demikian, kita dapat menghitung panjang busur dari kurva y = f(x) antara a dan b dengan integral berikut

Perhatikan bahwa dalam perhitungan ini telah digunakan tabel integral berikut.

d.      Dalam fisika dasar, koordinat pusat massa diberikan oleh persamaan

                                                      (7.14)

dengan dM menyatakan elemen massa dan integral meliputi selurh benda. Meskipun rumus koordinat pusat massa berbentuk integral tunggal, tetapi dalam kenyataannya dapat berupa integral tunggal, lipat dua, atau lipat tiga bergantung pada permasalahan yang dihadapi serta metode penyelesaiannya. Mengingat konstan sehingga kita dapat mengeluarkannyadari tanda integral. Di samping itu, untuk kasus sederhana Persamaan (7.14) dapat diselesaikan dengan mudah. Sebagai contoh, untuk benda berupa bidang datar yang berada pada bidang xy maka =0. Elemen massa dM = rdA = rdxdy, dengan r menyatakan kerapatan (dalam hal ini massa per satuan luas). Substitusi r ke dalam ungkapan (7.14) dan mengintegralkan kedua ruas akan menghasilkan koordinat pusat massa. Untuk r konstan, integral pertama Persamaan (7.14) menjadi

Dengan cara yang sama, untuk r konstan dapat dihilangkan dari semua integral pada persamaan (7.14).

Pada contoh soal ini, kita mempunyai

Tetapi A = 1/3 sehingga diperoleh =3/4 dan =3/10.

e.       Pusat massa panjang busur dari kurva y = f(x) diberikan oleh persamaan

                                                                                               (7.15)

dengan r adalah kerapatan (massa per satuan panjang). Jika r konstan, persamaan (7.15) menjadi

dengan ds diberikan oleh ungkapan (7.12). Dalam soal ini, kita mempunyai

Dengan menggunakan rumus integral

dan

sebagai latihan, tentukan nilai dan .

f.       Momen inersia I dari massa m yang berjarak l dari sumbu putar dirumuskan sebagai I = ml². Untuk benda yang bukan terdiri dari titik-titik massa diskret, melainkan memiliki sebaran massa yang malar, rumus ini menjadi bentuk integral. Kita bayangkan benda dibagi-bagi menjadi elemen-elemen massa kecil dM. Jika jarak elemen massa ini ke sumbu puta adalah l, maka

                                                                                                                    (7.16)

Dalam contoh soal ini kerapatan r = xy, sehingga dM = xy dydx. Jarak dM terhadap sumbu x dan y berturut-turut adalah y dan x (Gambar 7.10). Sedangkan jarak dM terhadap sumbu z adalah (sumbu z tegak lurus bidang gambar). Oleh karena itu, diperoleh 3 momen inersi terhadap sumbu koordinat, yaitu

 

Gambar 7.10

Dengan menggunakan besaran massa M = 1/12 [lihat jawaban b], maka

Contoh Soal 7.6

Putarlah daerah pada Contoh Soal 7.5 terhadap sumbu x sehingga membentuk volume dan permukaan benda putar, kemudian hitunglah

a.       Volume benda putar,

b.      Momen inersia benda terhadap sumbu x, jika kerapatannya konstan,

c.       Luas permukaan kurva,

d.      Pusat massa permukaan kurva.

Penyelesaian:

a.       Cara yang paling mudah untuk memperoleh volume benda putar adalah mengambil elemen volume berbentuk lapisan tipis sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7.11. Lapisan ini mempunyai ketebalan dx dan tampang lintang berbentuk lingkaran dengan jari-jari y sehingga elemen volume dV = py² dx. Dengan demikian,

Bidang x=konstan

                                Gambar 7.11                                           Gambar 7.12

Sebagai alternatif, soal ini dapatpula diselesaikan dengan menggunakan integral rangkap tiga. Jika kurva y=f(x) diputar terhadap sumbu x, setiap titik pada kurva akan mengelilingi lingkaran dengan jari-jari f(x) yang sejajar dengan bidang xy. Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran.

                                                                                                  (7.17)

Ini tidak lain merupakan persamaan permukaan kurva. Untuk f(x) = x², kita mempunyai

y² + z² = x⁴                                                                                                                     (7.18)

seperti telah diuraikan di depan, dalam melakukan integral lipat tiga, lapisan tipis dx dipotong-potong menjadi kotak-kotak kecil sehingga diperoleh elemen volume dxdydz (Gambar 7.11 dan 7.12). Dengan demikian,

sebagaimana telah diperoleh sebelumnya.

b.      Untuk memperoleh momen inersia benda terhadap sumbu x, kita melakukan integral l², dengan l adalah jarak dM ke sumbu x. Karena sumbu x tegak lurus bidang gambar, maka l² = y² + z². (Gambar 7.12). Mengingat kerapatan konstan, sehingga besraan r dapat ditulis di luar integral. Dengan demikian,

Dari jawaban a diperoleh V = p/5 sehingga

Dengan demikian,

c.       Elemen luas permukaan kurva ditunjukkan pada Gambar 7.13, yaitu dA = 2pdyds. Dengan demikian,

 

Gambar 7.13

d.      Dengan sifat simetri dapat dipahami bahwa =0 dan =0. Untuk dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.

Atau, mengingat dA = 2py ds dan luas total A dari jawaban c, diperoleh

D.     PERUBAHAN VARIABEL DALAM INTEGRAL

Di dalam matematika dikenal bermacam-macam sistem koordinat. Pilihan sistem koordinat yang digunakan bergantung pada persoalan yang dihadapi. Sebagai contoh, untuk gerak dalam bidang datar kita lebih mudah menggunakan sistem koordinat polar, sedangkan untuk tiga dimensi biasanya digunakan sistem koordinat silinder atau bola. Oleh karena itu, perlu diketahui transformasi (alih bentuk) antara sistem koordinat kartesian dengan sistem koordinat silinder atau bola. Dengan demikian, kita dapat merumuskan elemen panjang busur, elemen luas, dan elemen volume dalam sebuah sistem koordinat silinder atau bola. Sebagai ilustrasi, kita akan membahas transformasi dari koordinat polar r, q ke koordinat kartesian x,y. Sebagaimana diketahui, hubungan antara keduanya diberikan oleh persamaan

x = r cosq, y = r sinq                                                                                               (7.19)

Dalam koordinat polar, elemen luas ditunjukkan pada Gambar 7,14, yaitu segi empat dengan sisi rdq dan dr. Sehingga

dA = rdrdq                                                                                                               (7.20)

 

Gambar 7.4

Demikian pula elemen panjang busur ds diperlihatkan pada Gambar 7.15, yaitu

                                                              (7.21)

 

Gambar 7.15

Demikian pula elemen panjang busur ds diperlihatkan pada Gambar 7.15, yaitu

Contoh Soal 7.7

Gambar 7.16 menunjukkan bahan tipis berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari a dan kerapatan konstan r. Hitunglah

a.       pusat massa bahan,

b.      momen inersia bahan terhadap sumbu putar y.

Gambar 7.16

Penyelesaian:

a.       Pada Gambar 7.16, dengan melihat simetri maka = 0 Untuk menghitung digunakan rumus sebagai berikut:

Dengan mengubah ke dalam koordinat polar, diperoleh

Perhitungan integral ini menghasilkan

atau

b.      Momen inersia terhadap sumbu putar y diberikan oleh persamaan

Dalam koordinat polar dM = rdA = rrdrdq, dengan r konstan. Dengan demikian,

 

Mengingat

sehingga,

Dalam fisika, untuk persoalan tiga dimensi yang berbentuk simetri silinder atau simetri bola sebenarnya dapat diselesaikan dengan sistem koordinat kartesian. Tetapi dalam banyak hal penyelesaiannya menjadi terlalu rumit. Untuk mengatasi penyelesaian yang rumit ini biasanya dilakukan transformasi sistem koordinat dari kartesian ke silinder atau bola. Dengan alasan ini, di samping sistem koordinat kartesian dibahas pula sistem koordinatif silinder dan bola. kedua sistem koordinat ini, bersama-sama dengan sistem koordinat kartesian akan dibahas lebih mendalam untuk menjelaskan kesamaan dan perbedaannya.

 

(a)   Kartesian                  (b) Silinder                                   (c) Bola

Gambar 7.17

Gambar 7.17 menunjukkan titik P yang dinyatakan dalam tiga sistem koordinat, (x,y,z) dalam koordinat kartesian, (r,f,z) dalam koordinat silinder, dan (r,q,f) dalam koordinat bola. Urutan penulisan koordinat ini penting dan harus diikuti dengan konsisten. Sebagai contoh, sudut f muncul pada koordinat silinder dan bola. Dalam koordinat silinder f muncul pada urutan kedua, sedangkan dalam koordinat bola f muncul pada urutan ketiga. Simbol r digunakan baik dalam koordinat silinder maupun bola, tetapi menjelaskan dua hal yang sangat berbeda. Dalam koordinat silinder, r menyatakan jarak titik terhadap sumbu z, sedangkan dalam koordinat bola r menunjukkan jarak titik terhadap titik asal.

Dari Gambar 7.17 di atas, tampak bahwa kaitan antara koordinat kartesian (x,y,z) dengan koordinat silinder (r,f,z) adalah

x = r cosq, y = r sinq, z = z.                                                                                     (7.22)

Demikian pula kaitan antara koordinat kartesian (x,y,z) dengan koordinat bola (r,f,z) diberikan oleh persamaan

                                                                         (7.23)

Sebuah titik merupakan perpotongan antara tiga permukaan ortogonal (Gambar 7.18). Dalam koordinat kartesian, permukaan itu berupa bidang datar takhingga untk x = konstan, y = konstan, dan z = konstan. Dalam koordinat silinder, z = konstan adalah permukaan yang sama pada koordinat kartesian. Untuk  f = konstan berbentuk separo bidang datar yang dibatasi sumbu z, sedangkan r = konstan berbentuk silinder tegak dengan penampang lingkaran. Ketiga permukaan ini selalu ortogonal, dan perpotongannya merupakan kedudukan titik P. Dalam koordinat bola, f = konstan adalah (separo) bidang datar yang sama seperti pada koordinat silinder, r = konstan adalah permukaan bola yang berpusat di titik asal, dan q = konstan adalah suatu kerucut lingkaran tegak dengan posor sumbu z dan berpuncak pada titik asal. Perhatikan bahwa sudut q terbatas pada nilai 0 ≤ q ≤ p.

 

(a)    Kartesian                            (b) silinder                                   (c) bola

   

Gambar 7.18

Jika koordinat titik P dikembangkan pada (x + dx, y + dy, z + dz) atau (r + dr, f + df, z + dz) atau (r + rd, q + dq, f + df), akan terbentuk elemen volume dari masing-masing sistem koordinat (Gambar 7.19). elemen volume untuk masing-masing sistem koordinat berturut-turut dirumuskan sebagai

dV = dxdydz              (kartesian),

dV = rdrdfdz                (silinder)

dV = r² sinqdrdqdf           (bola)                                                                              (7.24)

Gambar 7.19

Untuk elemen panjang busur ds beruturut-turut diberikan oleh

ds² = dx² + dy² + dz²                             (kartesian),                                                         (7.25)

ds² = dr² + r² df² + dz²                           (silinder),

ds² = dr² + r² dq² + r² sin² qsf²             (bola).

Untuk koordinat polar, silinder, dan bola, kita telah mempelajari bagaimana menentukan elemen luas dan eleen volume secara geometris. Ada metode yang lebih mudah untu memperoleh kedua elemen ini, khususnya untuk sistem koordinat yang selama ini tidak dikenal dengan baik. Metode ini berkaitan dengan pengertian Jacobian. Diandaikan koordinat kartesian x,y dapat dinyatakan dalam variabel baru s,t. Jacobian x,y terhadap s,t dinyatakan dalam ungkapan berikut ini.

                                                                           (7.26)

Elemen luas dydx dalam pernyataan s,t asdalah

dA =                                                                                                             (7.27)

dengan adalah nilai mutlak dari Jacobian pada ungkapan (7.26).

Sebagai contoh, kita akan menghitung Jacobian koordinat kartesian x,y terhadap koordinat polar sekaligus membuktikan bahwa hasil (7.20) dapat diperoleh dengan metode ini. Dari (7.26) diperoleh

                                                                (7.28)

Oleh karena itu, menurut (7.27) elemen luas dalam koordinat polar adalah rdrdq. Ini merupakan hasil yang telah diperoleh sebelumnya [Persamaan (7.20)].

Penggunaan Jacobian dapat dikembangkan untuk 3 variabel. Kita akan merumuskan teorema umum Jacobian untuk tiga variabel ini. Diandaikan kita mempunyai integral lipat tiga :

                                                                                               (7.29)

dengan variabel u, v, w dihubungkan dengan variabel lain r, s,t dalam bentuk

u = u(r,s,t), v = v(r,s,t), w=w(r,s,t).

Jika

                                                                              (7.30)

merupakan Jacobian u, v, w terhadap r, s, t, maka dalam variabel baru integral lipat (7.29) dapat dituliskan sebagai

                                                                                                         (7.31)

Tentu saja, f dan J harus dinyatakan dalam variabel r, s, t, dan batas integralnya harus disesuaikan dengan variabel baru. Kita dapat menggunakan (7.30) untuk membuktikan elemen volume dalam sistem koordinat silinder dan bola [Persamaan (7.24)]. Sebagai contoh, kita akan menentukan elemen volume untuk koordinat bola. dari (7.23) diperoleh,

           (7.23)

    =

Dengan demikian, elemen volume dalam koordinat bola adalah dV = r² sin qdrdqdf. Ini sama dengan hasil yang telah diperoleh sebelumnya [Persamaan (7.24)].

Contoh Soal 7.8

Sebuah benda berbentuuk kerucut mempunyai tinggi h, jari-jari alas r, dan kerapatan r konstan (Gambar 7.20). JIka h = r, hitunglah

a.       Pusat massa ,

b.      Momen inersia kerucut terhadap sumbu z.

 

Gambar 7.20

Penyelesaian:

a.       Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7.20, persamaan kerucut dalam koordinat silinder adalah r = z. Elemen massa dM = rdV = rrdrdqdz, dengan r adalah kerapatan (konstan). Dengan demikian,

Pusat massa dihitung dengan integral berikut.

b.      Momen inersia terhadap sumbu z adalah

Tetapi M = rph³ /3, sehingga

                                                                                                   (7.33)

Contoh Soal 7.9

Tentukan momen inersia bola pejal dengan jari-jari R terhadap diameternya.

Penyelesaian:

Dalam koordinat bola, persamaan bola adalah r = R. Sehingga massa bola M adalah

                                                    (7.34)

Momen inersia terhadap sumbu z adalah

Atau, dengan menggunakan nilai M, diperoleh

                                                                                                               (7.35)

Contoh Soal 7.10

Tentukan momen inersia terhadap sumbu putar z dari ellipsoid pejal

Penyelesaian:

Kita akan menghitung

dengan integral rangkap tiga meliputi seluruh volume ellipsoid. Dengan melakukan perubahan variable x=ax’, y= by’, z=cz’, maka x’² + y’² + z’² = 1. Sehingga integral berubah menjadi integral seluruh volume bola dengan jari-jari 1. Dengan demikian,

volume bola dengan jari-jari 1.

Dengan menggunakan (7.34), diperoleh

Dengan cara yang sama,

Di sini integral lipat tiga meliputi selurh volume bola dengan jari-jari 1. Berdasarkan sifat simetri diperoleh

dimana r’² = x’² + y’² + z’², degan r’ = 1. Dengan menggunakan system koordinat bola diperoleh

Dengan demikian,

atau,

SOAL-SOAL

1.      Hitunglah integral lipat dua berikut ini.

a.        dengan A adalah daerah segitiga yang titik-titik sudutnya (0,0), (2,1), dan (2,0).

b.      dengan A adalah daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² dan garis lurus 2x – y + 8 = 0.

c.       meliputi daerah yang dibatasi oleh y = ln x, y = e +1 – x, dan sumbu x.

d.     

e.      

2.      Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan z = 0, x² + y² = 1, dan x + y + z = 3.

3.      Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan bola x² + y² + z² = 4, dan parabolaida x² + y² = 3z.

4.      Bahan tipis berbentuk segiempat mempunyai titik-titik sudut (0,0), (0,2), (3,0), dan (3,2). Jika kerapatan bahan xy, hitunglah

a.       massa benda M,

b.      koordinat pusat massa

c.       momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y,

d.      momen inersia terhadap sumbu yang melewati pusat massa dan sejajar dengan sumbu z.

5.      Nyatakan integral

sebagai integral dalam koordinat polar, kemudian tentukan nilainya.

6.      Tentukan Jacobian ¶(x,y)/ ¶(u,v) dari variabel (x,y) ke variabel (u,v), jika

7.      Dengan menggunakan transformasi koordinat u = x² – y²³, v = 2xy hitunglah integral berikut.

8.      Buktikan bahwa

9.      Tentukan (a) volume dan (b) pusat massa daerah A yang dibatasi oleh silinder parabolik z = 4 – x² dan bidang-bidang x = 0, y = 6, dan z = 0, jika kerapatannya sebesar r konstan.

10.  a.  Dengan mengganti variabel u = y/x, v= x + y, hitunglah

b.  Dengan mengganti variabel u = x – y, v = x + y, hitunglah